Kosinüs Teoremi (Cosinüs Teoremi)

 Kosinüs Teoremi (Cosinüs Teoremi)

  Okunma: 11747 - Yorum: 1
  1. #1
    sponsorlu bağlantılar
    Kosinüs Teoremi

    Kosinüs teoremi, geometride, üçgen üzerinde iki kenarı ve aralarındaki açı verilmiş iken bilinmeyen kenarı bulmak amacıyla kullanılan formüldür. Şekil 1'deki üçgene göre kosinüs teoreminin uygulanışı şu şekildedir:

    9 - Kosinüs Teoremi (Cosinüs Teoremi)

    Şekil 1: Açıları ve kenarları isimlendirilmiş bir üçgen



    10 - Kosinüs Teoremi (Cosinüs Teoremi)
    11 - Kosinüs Teoremi (Cosinüs Teoremi)

    Kosinüs teoremi, iki kenar ve aralarındaki açı verildiğinde üçüncü kenarı bulmada ve üç kenar da verildiğinde açıları hesaplamada kullanılır. Ayrıca bu teorem, sadece dik üçgenlerde uygulanan Pisagor bağıntısını tüm üçgenler için geneller.

    İspatı

    1. Uzaklık Formülüyle
    Kenarları a, b, c ve c kenarının karşısındaki açısı α olan bir üçgen düşünelim. Bu üçgeni koordinat düzleminde

    noktalarıyla çizebiliriz. Buradan da uzaklık formülüyle

    12 - Kosinüs Teoremi (Cosinüs Teoremi)

    bağıntısı çıkar. Bu bağıntıdan hareketle aşağıdaki şekilde teorem ispat edilir:

    13 - Kosinüs Teoremi (Cosinüs Teoremi)

    2. Trigonometriyle

    14 - Kosinüs Teoremi (Cosinüs Teoremi)
    Şekil 2: Bir dikme indirilmiş üçgen



    Şekil 2'deki gibi c kenarına bir dikme indirildiğinde dik üçgendeki trigonometrik bağıntılardan aşağıdaki bağıntı çıkar:
    15 - Kosinüs Teoremi (Cosinüs Teoremi)
    Her iki taraf c ile çarpıldığında ise:
    16 - Kosinüs Teoremi (Cosinüs Teoremi)
    Aynı bağıntılar diğer kenarlara dikme indirilerek düşünülürse:


    bağıntıları bulunur. Her iki bağıntı alt alta toplanırsa aşağıdaki bağıntı ortaya çıkar:

    En başta verilen bağıntıyla bağlantı kurmak için:

    yapılır. Ardından en baştaki bağıntı en sondakine yazılırsa:

    elde edilir.

    3. İkizkenar Üçgende Kosinüs Teoremi
    Bir ikizkenar üçgende a = b ve taban açıları eşit ve γ olduğu durumda 17 - Kosinüs Teoremi (Cosinüs Teoremi) olan kosinüs teoremi aşağıdaki şekli alır:
    18 - Kosinüs Teoremi (Cosinüs Teoremi)


    Kosinüs Teoreminin İspatı


    sponsorlu bağlantılar
  2. #2
    hocam bir de vektörlerle ispatını yapsak