Mathart Nedir?


Önyarılarımızı bir tarafa bırakıp matematiğin insanlara sıkıcı görünme nedenini açıklamaya çalışalım. Basit bir neden olarak matamatik dünyasını kolay algılayamadığımızı ve hissedemediğimizi söyleyebiliriz. Bunun nedeni ise,matematiğin kendi yapısı ve bu yapıyı ören profesyonel matematikçilerin tavrıdır. Matematikçiler ayrı bir dünyada gibidirler, olayları anlayışları ve ifade edişleri farklıdır. Bu ifadenin gündelik yaşam dilinden farklı olmasını yadırgamak yersiz olur. Matematikteki soyutluk, beşduyumuz aracığıyla edindiğimiz bilgileri ve aktarmaktakullandığımız dildeki görece anlatımlardan kurtulmak içingereklidir.Matematik evrensel bir dil olma niteliğini bu şekildekazanmaktadır. Matematik yeterince bilgi edinmeden ve çalışmadananlaşılamaz.



Bireyler olarak o kadar küçüğüz ki içinde doğduğumuz dünyanın sadece küçük bir parçasını algılayabiliyoruz. Bu dünya bizim anlama kapasitemizden büyüktür ve doğal olarak tüm detayları anlamamız imkansızdır.Ama matematikle birlikte bu koca dünyanın nasıl birşey olduğu hakkında genel bir duyuma sahip olabiliriz. Tanımlamayı, analiz etmeyi, çıkarımlar yapmayı, dizginlemeyi, daha dolgun,anlamlı ve işlevsel düşünceler üretmeyi öğrenebiliriz. Böylece zekanın derinliklerinde ve sınırlarında gezinerek kendi sınırlarımızı zorlamak ve genişletmek imkanı buluruz.



Mathart, matematikse lsanat, karşımıza çıktığı biçimiyle,matematikçinin içinde yaşadığı dünyayı Profesyonel matematikçilerin çemberi dışına taşımak için yapılan güçlü bir girişimdir. Matematikle sanatın ilişkilendirildiği makalelerle, Rönesans dönemi sanatçılarının çalışmalrı, özellikle altın oran ve onun geleneksel sanat tekniklerinde kullanışlı, doğadaki geometri,fraktallar ve bunların şaşırtıc görünümleri ve elbette matematik ve müzik ilişkisi konularından bahsedilir. Fakat düşünce formları fiziksel materyallere ve görünümlere dönüşmektedir. Böylece bir yandan matematikçiler"diğerleriyle" farklı bir platformda iletişim kurabilme, öte yandan yeterli bilgiye sahip olmayan insanlar, matematikçilerin kafasının içinde olan biteni hissedebilme şansı yakalamaktadırlar. İlk bakışta soğuk ve inorganik görünen matematiksel sanat, Heleman R. P. Ferguson, Anotalli T.Fomenko'nun çalışmalarında sıcak ve canlıdır. Matematikçi Fomenko, Klein bize matematik dünyasından enstantenler taşırken, sanatçı Ferguson heykelleriyle matematiksel düşünceyi yüceltir.Yeni bir bakış açısıyla M. C. Escher'in eserlerinide bu konuya dahil edebiliriz.Nede olsa Escher kendini matematikçilere yakın hissetmiştir.Bu insanlar bize matemamatiksel düşüncenin ve sanatsal becerinin doğurduğu etkileyici sonuçların örneklerini vermektedirler.



ALTINORAN:
Altın oran günlükyaşantımızda, matematiğin estetik güzelliğe etki ettiği her alanda karşımıza çıkan bir kavramdır. Altın oranın çokçeşitli tanımları verilebilir ama altın oran, neticede matematiksel bir kavramdırve değeride 1,618033.....olarak devam eden ondalık bir sayıdır.

Altı oran, örneğinbir dikdörtgenin göze en estetik gözükmesi için uzun kenarıyla kısa kenarın arasındakiorandır.buna benzer olarak, bir doğru parçasının ikiyeayrıldığında göze en hoş gelen İkiye ayrılmaoranıdır.Altın oran sadece dikdörtgen ve doğru için değilnerede ise tüm geometrik
cisimler ve yapılar için kullanılabilir.

Matematiksel olarakta şu şekilde bir tanımı yapılabilir: altın oran,1 sayısına eklendiğinde kendi karesine eşit olan iki sayıdan biridir. Altın oran 1,618033.... olarak devam eden ondalık bir sayıdır. 1 sayısına eklendiğinde kendi karesine eşit olan diğer sayı da -0,618033....devam eden ondalık sayıdır.

Altın oran (Fi) sayısı olarak bilinir.Bu sayı, Eski Yunan Düşünürleri tarafından bulunmuştur. An-cak Fi sayısını kimin tanımladığı kesin olarak belli değildir.Eski Yunan düşünürlerini bazılarının Fi sayısının yerine(to) sayısını kullandıklarıda bilinmektedir.

M.Ö. 500 ‘lü yıllarda yaşamış olan tüm zamanların en büyük matematikçilerinden biri olan Pisagor (Pythagoras), altın oranla ilgili aşağıdaki düşüncelerini dile getirmiştir:

Bir insanın tüm vücudu ile göbeğine kadar olan yüksekliğinin oranı, bir pentegramın uzun ve kı-sa kenarını oranı,bir dikdörtgenin uzun ve kısa kenarının oranı hepsi aynıdır. Bunun sebebi tüm parçanın büyük parçaya oranı, büyük parçanın küçük parçaya oranına eşittir.


MATEMATİKDÜNYSINDAN FOTOĞRAFLAR:


İlk durağımız ünlüRus matematikçi Anotalii T. Fomenko'nun çalışmaları var. Öz geçmişinden Anlaşıldığına göre Fomenko,tam bir harika çocuk ve öğrencilik yaşamı boyunca ödüllerle ve madalyalarla dolu.Matematik eğitimini Moskova Üniversitesi Mekanik ve Matematik Bölümü'nde tamamlamıştır.Başarılı akademik kariyeri boyunca 140 ‘dan fazla yayımlanmış makalesi ve 16 ‘ yı aşan kitabı bulunmaktadır.Böylesi güçlü matematikçi kimliğin yanında resim, küçük yaşlardan beri amatör bir ressam olan annesinin etkisiyle sürdürülen bir uğraş olarak belirir.Matematiği hep çizerek ifade etmiştir.Bunun nedenini açıkça belirtir:"...Ben bir matematikçiyim. Çizimlerim ilginç ve ilgi çekici matematik dünyasının fotoğraflarına benziyorlar.Bana göre önemli olan sanatçı olmak değil ama bu dünyanın görüntülerini sunmaktır.Böylece diğer insanlarda bu dünyaya katılabilirler."


FOMENKOİLE TOPOLOJİ:

Fomenko, daha çok matematikteki çalışma alanı olan topolojik nesneleri ve olayları resmeder. Topoloji çağdaş matematiğin en hızlı gelişen ve yaygınlaşan alanı olarak bilinir. Kabaca " esnek madde geometrisi" olarak tanımlanabilecek topolojide sadece noktalar kümesi anlamına gelmeyen esnek bir maddeden yapıldığı düşlenen objeler deforme edilerek birbirlerine dönüştürülebillir. Yırtmadan ve kesmeden, ezip büzüştürülerek veye çekip genişletilerek yapılan bu dönüşüm fonksiyonu homeo morfizmdir.Bir karenin daireye, kübün piramite, bir torusun kahve fincanına, üç kulplu kürenin üçlü torusa,daha da ilginci bir noktası atılmış kürenin reel düzleme (R2)home-omorfik olması gibi.


Topoloji öğrenmekinsanın algısını biraz farklılaştırıyor çünkü konu olan nesneler ve bunların elde edilme yöntemleriolağan dışı özellikler gösteriyor. Bu yöntemleoluşturulan Mobius şeridi tekyüzlü yönlendirilemeyen bir nesnedir. Bir diğride ünlü Klein şişesi, iki Mobius şeridiniyapıştırılması ile elde edilir.

FELİX CHRİSTİAN KLEİN:

Klein, 25 Nisan 1849'da şimdi Almanya, o zamanlar Prusya sınırlarına dahil olan Düsseldorf'ta doğmuş ve hayata gözlerini 22 Haziran 1925'de, Almanya'nın Göttingen kentinde kapamış. Klein, doktarasını 1868 yılında yıllar boyu matematik ve fizik alanlarında çalışma yaptığı Bonn Üniversitesi'nden almış.Çeşitli üniversitelerde öğretim görevlisi olarak çalışmalarda bulunduktan sonra 1886'dakürsü başkanlığına kadar yükseldiği Göttingen Üniversitesi'ndeki çalışmalarını vefatına kadar sürdürmüştür.


Klein'ın Göttingen Üniversitesi'nde yerleştirdiği araştırma gelenekleri, izleyen yıllarda, önde gelen matemetiksel araştırma merkezleri için model oluşturmuş. Haftalık matematiksel tartışma etkinlikleri düzenleyen Klein, sadece matematik alanındaki kitaplarla donatılmış bir kitaplığa sa hip,"matematik odası da" kurmuş. Klein ünlü matematikçi Hilbert'i de, Göttingen'deki araştırma grubuna davet etmiş.Ünlü Mathematische Annalen dergisinin namı,biraz da,Klein'ın matematiksel becerisini birürünü. Klein'ın bir araya getirdiği editörler grubu sıkça toplanmayı karaları demokratik yöntemlerle ele almayı gelenek haline getirmi.Klein'ın kendisini ünlü eden çalışmaları, Öklitd-dışı geometri alanında yaptığı,geometri ile grup kuramı arasındaki bağlantıları kuran ve fonksiyonlar kuramı alanında meyveler sunan araştırmalar sunan araştırmaları olmuş.

TUHAFBİR ŞİŞE:

Klein'ın popüler matematik gözlüğüyle bakıldığında en önemli çalışması ünlü "Klein Şişesi".Az bir çabayla bir cam atölyesinde üretimi gerçekleştirebilecek olsa da, günlük yaşamda bir işlev üstlenmeyecek olan Klein Şişesi, artistik bir biblo olmanın ötesinde ciddi bir matematisel değer taşıyor .Klein Şişesi herşeyden önce "topolojik"bir nesne. Topoloji, geometrik şekillerin biçimleri ve boyutlarından çok, birbirleriyle ilişkileri, bükme, germe, gibi şekil deformasyonlarından sonrada taşıdığı değişmez özellikleriyle ilgilenen matematik dalı. Sözgelimi,kare biçiminde kesilen bir yüzey yırtmadan,delmeden ve yapıştırmadan büküldüğü, esnetilip uzatıldığı,ortası şişirildiğinde bile, topolojik anlamda değişmez olan özelliklerini korumaktadır.


Son yıllarda bilgisayarlarda gösterişli geometrik modelleme yötemlerinide sömüren matemetikçiler, cisimleri çekiştirip ters-yüz ederek topolojik çalışmalar yapıyorlar. Topolojiyle uğraşanların en gözde geometrik nesnelerinden biri, belki de Klein Şişesinden daha da popüler olanı, Moebius şeridi. Adını 1790-1868 yılları arasında yaşayan ünlü matematikçi A.F. Moebius'dan alan bu şerit,biraz da M.C. Escher'in oldukça popüler çizimleri sayesinde epey ünlenmiş.Bir parça kağıt, yapıştırıcı ve makas kullanarak üzerinde eğlenceli deneylere girişebileceğimiz Moebius şeridi, pek çok özelliğiyle,Klein şişesinin yakın akrabası olduğunu kanıtlıyor 20 cm civarında uzunluğa ve 3-4 cm genişliğe sahip bir kağıt parçasının iki ucunu

180 derece çevirdikten sonra birbirine yapıştırarak bir Moebius şeridi elde edebilirsiniz. Söz gelimi,şeridin bir yüzü kırmızı, diğer yüzü yeşil olsa idi,birleşme noktasında farklı renkler uç uca gelmiş olacaktı. Moebius şeridinin, Klein şeridiyle de ortak, en önemli özelliği,tek bir yüzü oluşu. Escher'e de ilham veren taktiği kullanarak, bir karınca olduğunuzu ve Moebius şeridi üzerinde yürüdüğünüzü düşünün.Belli bir doğrultuda yürümeyi sürdürecek olursanız,eninde sonunda şeridin her iki yüzünüde (aslında tek)dolaşmış olursunuz. Moebius şerisini orta ekseninden boylamasına keserseniz, bu tuhaf özelliği yüzünden, iki tane değil, tek,dolanmış bir halka elde edersiniz. Moebius şeridiyle oynamaya,yapıştırmadan önce 180 derece değil,360 derece çevirerek veya orta eksen yerine kenara yakın kesmeye kalkışarak devam edebilirsiniz. 360 derece çevirdiğinizde yani aynı renkteki yüzeylere çakıştırarak kestiğinizde sizi bir sürpriz bekliyor... Klein Şişesi'de, Moebius Şeridinin tuhaf özelliklerini taşıyan, tam anlamıyla 3boyutlu bir geometrik nesne. Çoğu şişenin bir iç bir de dış kısmı tanımlanabilirken, Klein Şişesinin tek bir yüzü var ; yani içi-dışı yönleri biraz tartışmalı. Bu tuhaf şişenin hilesi yüzeyinin kendisiyle kesişiyor oluşu. Kesişim büyüyü biraz bozuyorsa da, 3 boyutlu bir cisimde önlenemeyen ancak 4 boyutta tanımlandığında çözülebilen bir süreksizlik problemi bu. Klein Şişesinin,kendi gövdesini delip ‘içine' giren, oradan da ‘dibine'açılan bir boynu var.


TOPOLOJİKEĞLENCE

Klein Şişesinin tuhaf özellikleri sayısız topoloji problemine olduğu kadar, sanat yapıtlarına, bulmacalara, oyunlara hatta şiirlere ilham kaynağı olmuş. Bilgisayarda matematiksel geometrik modelleme merkezlerinin önde gelenlerinden Minnesota Üniversitesi'ndeki Geometri Merkezi'nin internet sayfalarında,Klein şişesine ait sayısız resim, animasyon ve açıklamanın yanı sıra, bir de satranç programı bulmak olası. Kenarıolmayan bir satranç tahtasına dönüştürülebilen, taşların birbirinin zıt tarafında,bir yüzeyin farklı(tuhaf ama aslında aynı)yüzlerindeüst üste durabildikleri satranç oyunu ilginç bir deneyim. Klein şişesini kendine eğlence edinenlerden bir başkası, ‘bilimsel cam şişirici'Alan Bennet. Klein şişesinin çeşitlemelerini laboratuvar malzemesi görünümünde deneyen Bennett,18 ay üren deneme yanılma sürecinden sonra, 11 bükülme noktası ve 5 tam tur içeren, kenarsız, dolayısıyla da tek yüzlü bir şişe yapabilmiş. Bennett, "Ben bir bilim adamı değilim, bilimsel bir cam şişiriciyim. Yaptıklarımı bilimsel önermelerle açıklayamam. Benim uğraştığım ve birşeyler başarabildiğim; tasarım problemleri yaratmak ve deneyerek çözmek" diyor.


Herkesin evde deneyleregirişebileceği bir Klein şişesi çeşitlemelerinden biri,yündenörülmüş bir bere olabilir. Dünyaüzerinde Klein şişesi biçiminde örülmüş berelerin sayısız meraklısı var. Berenin iç ve dışkısımlarını farklı renklerde, örüp, ters-yüz ederek ilginçsonuçlar elde edebilirsiniz. Yanına bir deMoebius şeridi biçiminde atkı ekleyecek olursanız topolojik bir kışlık takımınız olur.


Muzip matematik öğrencilerinin matematik ödevlerini yapmamış oluşlarını açıklamak için uydurup, İnternet üzerinden yaydıkları bahaneler arasından bazı seçmeler: "Yanlışlıkla bir tam sayıyı sıfıra böldüm ve ödev kâğıtlarım alev aldı; kitabıma asimptotik olarak yaklaşabiliyor ama dokumamıyordum, ödevimi çekmeceye kilitledim ama dört boyutlu bir köpek gelip onuyedi;ödevimi bir Klein şişesinin‘içine' koyduğuma yemin edebilirim,ama sabah kalktığımda orada değildi'.Bir başka matematik öğrencisi Lauren Weinstein'ın bir özdeyişi Klein şişesinin tüm matematiksel, ebedi ve mizahiilhamını iyi bir şekilde özetliyor: ‘Bir Rubik Küresi edindiğimde onu nereye koyacağımı biliyorum: Klein şişesinin ‘içine'.


MATEMATİKDÜNYASINI FOTOĞRAFLAMAK:

Topoloji,matematikçinin oyun düşkünlüğüyle iyi örtüşen eğlenceli bir uğraş ve bir yığın görsel malzemeyle dolu. Tabiki matematikçiler için asıl heyacan verici olan bu oyunların ardındaki teori Fomenko ise doğası doğası kolay algılanamayan bu dünyayı resmetmeye çalışır. Resim yaparken bir yolculuğa çıktığını ve başlangıçta neler olacağını hiç bilmediğini söyleyen sanatçı,yol boyunca edindiği izlenimleri, tecrübeleri aktarmak ister ve bunu fotoğraf çekmeye benzetir. Gördüklerini ve hissettiklerini belgelemek için çizer.Resimlerinde kurguladığı mekanlarda Rus masalları, Yunan mitolojisi, antik çağın öykülerinden faydalanır. Eserlerindeki mistik ve dinsel hava da bundan kaynaklanıyor olmalı. Mekânlar alabildiğine büyük; insanlar alabildiğine küçük! Sanki herşey bu zavallı insanların dışında geliyor ve onların acizane yapabildiklerini hiç birşey etkili olamıyor: ‘Biz, şu öğrenen adamlar, tahmin edemediğimiz şeylerin her an olabileceği,fırtınalı bir dünyada yaşıyoruz'.Resimlerin kaotik yapısı, izleyici zor durumda bırakacak kadar karışık bir-
çok detayla doluolması bu fikre dayanıyor.


MÜZİKVE MATEMATİK:


Müzik ve matematik ilişkisi Fomenko'nun resimlerinde de gündemdedir. Aktif olarak Moskova Üniversitesi TopazMüzik Grubu'nda müzik yapan Fomenko'nun resimleriyle müzik arasında önemli bağlar bulunur. Fomenko'ya göre müzikle matematiğin temel motifi sonsuzluktur:‘Profesyonel matematikçiler sürekli olarak sonsuzluk kavramıyla ilgilenirler.Bu yüzden, tam olarak tanımlanamasada sonzuzaait belirgin ve güçlü bir hisse sahiptirler. Pek açıkça görülmese de bu durum müzik içindeböyledir. Her iki alan da ortak ve yüksek bir soyutlama düzeyine sahiptir'.

Sonsuzluğun görselifadesine daha önce Escher'de tanık olmuştuk. Fomenko'da buifade matematiksel sonsuzluk(Mathematical Infinity) resminde belirtiyor:kocaman bir kafa ve ona yakınsa-yan ve acı içinde bağıran bir yığın yüz. Topolojik açıdan bakıldığında tüm insanlar birbirine ho
meomorfiktir; deformeedilerek biri diğerinden elde edilebilir. Tek ve ideal bir kahraman olsa bütün insanlar ona dönüştürülülebilir tipik bir limit probleminin görüntüsü olarak düşünülebilecek bu resimde sonsuzdak bu kahramana ulaşmak / ulaşamamak, oldukça acı verici görünüyor.

Fomenko'nun görüntülediği bu dünyada onun izlenimlerine tanık olmak pek de kolay değil. Oldukça detaylı, karışık,iç içe geçmiş yapılar;koyu keskin gölgeler, ilginç teorik isimler , zor kavramlar...Sanatçının kendisi de bu resimlerin belli bir düzeyde matematik bilmeden anlaşılamayacağını itiraf etmektedir.


BRONZ VE TAŞ ÜSTÜNE KURAMLAR:

Üçüncü durağımız oldukça renkli bir kişilik ,Amerijalı sanatçı Heleman R.P.Ferguson.Sanat eğitimini resim ve heykel üzerine Hamilton Koleji'nde yapan Ferguson, matematik profesörlük derecesini Washington Üniversitesi'nde almıştır.Bilgisayar destekli ve bunun için yazılacak algoritmalar üzerine yapılan araştırmalar yapmıştır. Yaşamını heykel yaparak sürdüren sanatçı, matematiğin kendine özel estetik bir tarafı olduğuna inanmaktadır. F erguson,"Matematiğin kaynağı, enerjisi ,zekası, sofistike yapısı estetik sanat esrlerinin yaradılışını geliştirmek üzere kullanılırsa ne olur?" sorusunun cevabını arar.Sanatçı Haziran 1991'de New YorkBilimler Akademisi'nde izlenen "Bronz ve Taş Üzerine 16 Kuram" adlı sergisi bu soruya bircevap niteliği taşır.Ferguson yaşamsal görünümlerin tasarım dili olarak kabul ettiği matematiği bir sanat ve bi-lim formunda heykelleştirirken, bize de bu formlarda zihinsel güzelliği duyumsatarak önyargı-latımızdan kurtulmamızı sağlamayı amaçlamaktadır.Bu misyonu şöyle ifade eder: "Güzellik ve gerçek :heykellerimin birleştirip yücelltiği iki olgu.Ruhu harekete geçiren heykellerin güzelliği ve zihni harrekete geçiren matematiksel gerçek. Benim yaptığım bu."


Matematiksel gerçekve matematiksel estetik, Umbulic Torus Nist NC'de vücut bulmuştur.Heykelin formunda hemenokunabilecek süreklilik, ilginç dokusu, eski eserleri anımsatanrengi, Ferguson'nunyaratıcılığı ve yetkinliği hakkında ilk fikirleri vermektedir. Heykelin en ilginç yanı ise onun yaratılışsürecidir. Bilgisayar destekli üretim tekniklerinin uygulandığı heykel formu ax3 + bx2y+ cxy2 + dy3 kübik reel binom denkleminin a,b, c, d katsayılarının dört boyutlu reel uzayda parametrizasyonusonucunda elde edilir. Bu işlem 2 x 2 reel elemanlı, tersihesaplanabilir matrislerin oluşturduğu grubun x ve y değişkenleriüzerindeki etkisinedayanılarakyapılır.Yapılan işlemler sonrasında oluşan farklı görüntüler arasında Euclid uzayındaki engüzel form sanatçı seçiliğiyle belirlenir. Bu bir umbilictorustur.


Heykelin formu yanındadokusu da ilginç bir konu olan Peano-Hilbert uzay doldurmaeğrisinin 5. derecedenuygulamasıyla elde edilir. Uzay doldurma eğrisi bir doğru parçasından bir düzleme tanımlananbir fonksiyon olarak düşünülebilir.Şekil 3'te görüldüğügibi eğri sürekli tekrarlanan bir işlemeinşa edilmiştir.


Bu işlem sonsuzçoklukta tekrarlandığında eğrinin düzlemi bir noktadan bir ve sadece bir kere geçerek dolduracağı ispatlanabilir. Tek boyutlu eğri giderek iki boyutlu düzlemeyansımakta-dır(Bu ve buna benzer eğriler bugün tanımlanmışolan fraktal yapıların temelini oluşturmuşlardı)


Heykel ve dokuşekillendikten sonra gerekli koordinatlar hesaplanarak bilgisayaraaktarılır ve sayısal kontrollü oymamakinası ile pozitif çıktı alınır. Bu pozitif çıktıgeleneksel heykel teknikle- riyle bronza dökülerek son halinialır. Heykel doğduğu kuramdan daha fazlasını aktarıyor: "Birheykel nüansa, gizeme, sese, sıcaklığa, tarihe, birkaç anlamdüzeyine ve kendi orijininin tanımlandığından dahafazla referansa sahip olabilir. Ama benim yaptığım sadece heykeldeğil.Ben soyut matematiğin tahminedilmeyen fiziksel formlara dönüşme macerası ile ilgileniyorum."

Bir diğer macera,mermer kullanarak oyma tekniğiyle yapılmış Whaledream 2 . Whaledream 2, Alexander'ın Boynuzlu Küresi (Alexander's HornedSphere) olarak bilinen yapının bir çeşitlemesi olarak karşımıza çıkıyor. Alexander'ın Boynuzlu Küresi'nin ilginç bir öyküsüvardır. J.W. Alexander 1921'de,düzlemdeki bütün kapalı eğrilerin topolojik bir diski sınırladığını söyleyen Schoenflies Toeremi'nin genelleştirilmiş halini yayımladı. Alexander bu yayında, üç boyutlu Euclid uzayında iki boyutlu topolojik kürenin üç boyutlu topolojik bir topu sınırladığını söylemişti. Bu önermenin yanlışlığı örneklerle ispatlandı. Alexander, bu yanlışlığın farkına vararak kendi karşı-örneğini üretti. Bu da Alexander'ın Boynuzlu Küresi olarak bilinen yapıdır. İnşası uzay doldurma eğrilerine benzeyen Alexander'ın boynuzlu küresini şöyle tarifleyebiliriz.



Bildiğimiz küreyi deforme ederek iki boynuz çıkaralım ve bunları birleştirecakmiş gibi karşı karşıya getirelim. Birleştirmeden her bir boynuzdan iki boynuz daha çıkaralım ve bunları yine birleştirecekmiş gibi karşı karşıya getirelim...Bu işlem sonsuz çoklukta tekrarlanabilir ve işlemin limiti alınırsa bize bilinen küreyi verir. Elde edeceğimiz çok boynuzlu kürenin normal küreye denk oluşu şaşırtıcı değil. Çıkardığımız boynuzları hiç birleştirmedik! (Birleştirseydik bir kulp yapmış olacaktık ve tabii ki kulplu bir küre normal küreye homeomorfik değildir).Bu ve buna benzer akıcı yapılar sanatçının heykellerinde sıklıkla görülür.

Ferguson'unheykellerinin yarattığı heyecan sadece formların başarısındandeğil, onların gerisindeki ilgimç kuramlardan doğuyor.Eserlerindeki yalınlık, süreklilik,yumuşaklık; bronzun, taşın ve kuranın soğukluğunakarşı duruyor.


M.C.ESCHER

Son olarak M.C Escher'e uğruyoruz.1898 ve 1971 yılları arasında yaşamış Hollandalı grafik sanatçısıdır.Mimarlık eğitimi almıştır. Escher'in sanatı, aldatıcı bir perspektif kullanarak çevreyi iki boyuta indirgemeye dayanır.Şekillerini incelerken göz yanılması meydana gelir. Ayrıca siyah beyazın kesin karşıtlığı, gölgeleme ve belli belirsiz ton farklılıkları gibi grafik teknikler üzerinde çalışmıştır.


Escher matematik yada fizik üzerine ciddi bir eğitim almamış olmasına karşın,dönemin ünlü matematikçileri tarafından saygıyla ve ilgiyle takip edilmiştir. Escher'in ölümünden sonra onu örnek alan pek çok grafik sanatçısı vardır. Escher'in tekniğiyle yapılan çizimler günümüzde de mevcuttur.


Onun eserlerimatematiğin görselleştirilmesi konusunda verilmiş ilkörneklerdir. Sanatçının ken-disi de matematiğe yakınlığınışöyle ifade etmiştir:"Bizi saran muammaları göğüsleyerek veyap-tığım gözlemleri analiz ederek matemetiğin egemen olduğualana eriştim.Bilim eğitiminden yok-sun olmama rağmen kendimisanatçı arkadaşlarımdan çok matematikçilere yakın hissettim.". Bahsettiğimiz kişiler halihazırda Escher'den etkilenmiş,hatta onunla iletişime geçmiş kişilerdir.

Sanatçının çalışmalarını birer "ilk" veya "önder" olarak kabul edebiliriz.Yine de Escher'in matematiksel bir kaygıyla yola çıktığını öne sürmek yanlış olur. Sanatçı kurmak istediği dünyaları yaratabilmek için matematikten faydalanmıştır. Kısa ve duru bir bakışla yeniden gözden geçirirsek eserleri birkaç grupta ele alabiliriz:



DÜZLEMİDÜZENLİ OLARAK BÖLME:


Bu teknikle yaptığıresimlerde sanatçı, bir ya da birkaç motifi hiçbiri birbirinin üstüne gelmeye-cek ve aralarında boşluk kalmayacak şekilde birbirlerini nasıl çevreleyebileceklerini araştırır. Bu yöntem matematikte düzlem doldurma problemi (Plane Tiling Problem) ileçakışır. Matematikçi daha global bir yaklaşımla bir düzlemde bulunan mozaik yapıdaki simetri gruplarını araştırıptanımlamak ister. Escher bu işlemi çeşitli hayvan figürleri-özellikleri balık-kullanarak fantastik bir şekilde icra eder. Bu gruta toplanan çalışmaları arasında en etkiliyiciolanları hiperbolik düzlem kullandığı "Çember Limiti" (Circle Limit) serisidir (şekil 5).Hiperbolik düzlem Euclidolmayan geometrilere örnek olarak Poincare tarafından geliştirilmiştir.

METEMORFOZLAR:

Bu seride yüzey-figürilişkisi çarpıcı bir şekiilde vurgulanırken, imkansız olanboyutlar arası yol- culuk da resmedilir."Sürüngenler" ve "Geceile gündüz" isimli resimlerindeki bu özellik,1978'de Roma'daçekilen matematik üzerine yapılmış bir dizi filmde animasyon tekniğiyle canlandırılmıştır. Formda doğa da değişimanlamına gelen metamorfozlarda, düzlemdeki düzenliliği boz-madan sürekli deforme edilen şekiller birbirine dönüşür.

PARADOKSLAR:

Paradoks: Görnüşte yanıltıcı olan şey yada durumdur. Paradosklar, bilinen batı felsefesinin başlangıcına dayanır.Paradokslar çok uzun yıllardan buyana olmalarına rağmen matematik dünyası bunları 20 yy. da keşfetmiştir.

Escher'in en vurucu işleri paradoks ve sonsuzluk kavramlarını işlediği resimlerdir. İmkansız fi-gürleri kullanarak inşa ettiği dünyalar bizi çelişkiye götürür.Döngüsel paradoksları yaratmak için kurduğu hiyerarşik düzenlerde sürekli yukarıya ya da aşağı hareket etseniz de,hiyerarşinin gere- ğine rağmen, yine başlangıç noktasına gelirsiniz.Bu gibi döngüler Bach'ın müziğinde de yer alır.

Bach müziğinibestelerken kanonlar sayesinde kurduğu döngüler içinde notaların harflendirilme sisteminden yararlanılarak adını sonsuz kerezikrettirir. D.R. Hofstadler ünlü "Gödel Escher ve Bach" adlı kitabında bu üç şahsiyeti döngüsel paradokslarda buluşturur. Bu yüzyılın önemli makalelerinden birini yazanGödel, matematiği dizgeleştirme çabalarının sonuç vermeyeceğini, kendi içinden çıkıp kendine dönen bir paradoksun varlığını göstererek kanıtlar. Escher'in "Re- simGalerisi" adlı eseri -kabaca- bu kanıtın görsel ifadesidir.Önemli bir teorem ve ilginç bir re-sim aynı anlatımaulaşıyor!!



Escher'in eserlerinin okunurluğu, akıcı anlatımı, iyi kurgulanmış güçlü yapısı iz bırakıcıdır.Dikkatli bir gözsanatçının resimlerinde tanık olduğu gariplikleri kolay kolay unutmaz. Escher oldukça sofistike ve detaycı işçiliğiyle matematiğin örgüsüyle çakışır. Yaşamında ve sonrasında çok tartışılmış bir sanatçı olan Escher,matematikçi olmasada çalışmaları pek çok matematikçiyi etkileyegelmektedir.

MATEMATİKVE SANAT ÜZERİNE


Matematikle sanat oldukça farklı alan olarak karşımızda. Malzemeleri, teknikleri,yöntemleri ve doğal olarak ürünleri farklı. İlk bakıştahemen göze çarpan ve rahatsızlık veren bu ayrılık, ortaklıkların varlığına engel değil. Matematik de sanat da, diğer bilimler gibi, insanoğlunun içine doğduğu ortamı anlama çabası sonucu doğadan doğmuştur. Zaman zaman doğaya aykırı görünseler de iki alan da doğanın soyutlaması, yorumu, hattayeniden sunumudur. Sayılar, denklemler, bu halleriyle doğada yoktur ama resimler ve heykeller gibi doğayı betimler ve düşüncemize yeniden sunarlar. Her iki alanda ilgilenmek insanın entellektüel etkinliğini artırır. Kişi matematik öğrenerekveya sanatla uğraşarak, burada sıralamaya gerek olmayan kazanımlar elde eder. Ne yazık kısır gündelik yaşantımız içinde bunun farkına varamayız!

Mathart: matematiksel sanat, matematiğin şaşırtıcı sonuçlarından biri .Bu sonucu karşımıza çıkaran kişiler matematiği yeni bir iletişim alanına taşımak istiyorlar. Bu,sanat eserinin etki alanıdır. Ne de olsa sanatın cazibesi daha çok kişiyi kendine çeker.Böylece daha çok insan matematiksel düşünceyive onun doğuracağı etkiyi paylaşabilir.Matematiksel sanat, bu kendine özgü savıyla merak etmeye değer.



Kaynaklar:
Bilim Teknik dergisi/1995/kasım
1)BollF.H. Escher Complete Graphic work,Thomes and Hudson 1993
2)Connon J.W. "Mathematics in marble and Bronz:.Sculptures ofHeleman R P .Ferguson"
Matematical intelliger cilt 13 sayı1 kış 1991
3)Coxeter H.S.M. Escher Art and Science,Elsevier scienca publishers1990
4)Fomenko,A. Mathhematical impresssions, America MathematicalSociety,1990
Bilim Teknik Dergisi:1997/şubat