sponsorlu bağlantılar
PYTHAGORASPYTHAGORAS

Eski Yunan filozofu ve matematikçisi.

Hayatı : Doğum yeri olan Samos (Sisam)Adası'ndan M.Ö. 529'da Güney İtalya'ya, Kroton' a göç etti. Güney İtalya bu devirde bir Yunan kolonisiydi ve buraya yerleşenlerce Magna Graecia (Büyük Yunanistan) adıyla anılıyordu. Kroton da bu yörenin zengin liman kentlerinden biriydi. Pisagor işte burada biraz kişisel çekiciliği, biraz kendisinde var olduğunu iddia ettiği kehanet gücü ve biraz da etrafında oluşturmayı başardığı gizemci havayla kentin zengin ve soylu delikanlılarından 300 kadarını bir çatı altında toplandı ve bir gizli örgüt, okul ya da mezhep kurdu.

Pisagor, öğrencilerini iki bölüme ayırıyordu: Dinleyiciler ve Matematikçiler. Örgüte dinleyicilikle başlanıyor ve belirli bir deneme süresinden sonra başarılı olunursa matematikçiliğe geçiliyordu.

Çalışmaları :
Pisagor; Platon ve Aristoteles'in düşünce sistemlerini etkileyen ilkeleri biçimlendirmiş, matematiğin ve batının ussal felsefe görüşünün gelişiminde etkili olmuştur.

Pisagor, sabah yıldızı ile akşam yıldızının aynı yıldız olduğunu anlayan ilk Yunanlıdır. Kendisinden sonra bu yıldız uzun süre Afrodit ile anıldı. Bugün bunun Venüs Gezegeni olduğunu biliyoruz.

Pisagor, gerek dayandığı öğrenci kitlesi gerekse öğretisinin içerdiği temel öğeler bakımından soylulara yatkın bir felsefeciydi. Pisagor'un ölümünden 10 yıl kadar önce, Güney İtalya'da demokratların egemenlik kurmasıyla Pisagorculuk yaygın bir şekilde kovuşturmaya uğradı. Pisagor'un kendisi de Kroton'dan sürüldü. Pisagorculuk da felsefecinin ölümünden sonra yalnızca yüzyıl kadar daha yaşadı ve tarih sahnesinden silindi gitti. Ancak Pisagor'un öğretisi ve fikirleri çağımıza kadar felsefe dünyasını etkiledi: Bir söylentiye göre "felsefeci" sözcüğünü üreten de O'dur...

Pisagor, Dünya'nın Güneş etrafında döndüğünü ileri sürdüğü zaman oldukça sert tepkiyle karşılaşmıştır. Bilimler hakkındaki görüşlerinin ne kadarının ona ait olduğu bilinmemektedir. Çarpım tablosunu, hipotenüs teoremini ortaya atmış olduğu söylenir.

Kurduğu felsefe okulu V. Yy.da Philolaos, IV. Yy.da ise Arkhytas tarafından yaşatıldı ve büyük ün kazandı. Pisagorculuk adını alan dini ve ilmi hareket içinde, filozofu ve felsefesini yaşatan öğrencilerinin gerçek payını ayırt etmek güçtür.

Pisagorculuk başlangıçta bir takım dini mezhepler halinde ortaya çıktı; bu mezheplerden olanlar, Yedi Bilgeler'inkini andıran çok basit, fakat kimine de bugün ne anlam vereceğimizi bilemediğimiz (mesela bakla yememek) kurallara uyuyorlardı. Ayrıca ruhun bilgiyle temizleneceğine ve bedenden bedene (insandan insana, insandan hayvana vb.) geçebileceğine, yani felsefe ruh göçü teorisine inanıyorlardı. Pisagor ahlakı, müritleri arasında sözlü olarak öğretilir, bazı Pisagorcu filozoflar ise teorik çalışmalarla uğraşırlardı («matematikçiler»).

Bu matematikçi filozoflar geometri, aritmetik, astronomi ve fizik alanında birçok araştırmaya giriştiler. Bu araştırmalar sonucunda çok sayıda teorem ortaya atıldı. M.Ö. III. Yy.da Eukleides bunları düzene koydu. Pisagorcular özellikle karede köşegen ile kenarın ortak ölçülemezliğini ispatlayarak, oransal sayıların kullanılışında aşılmaz bir sınırı keşfettiler. Sayıların ve aritmetik dizilerin yapısını uzun uzun inceleyerek, mesela «tikel sayılar»ı (yani, 6, 28, 496 gibi bölenlerinin toplamına eşit olan sayılar) tanımlamaya çalıştılar veya n kadar tek asal sayı toplamının 'ye eşit olduğunu gösterdiler. Astronomi alanında ise Philolaos'un teorisine uyarak dünyanın, evrenin merkezi olmadığını; güneş ve diğer gezegenlerle birlikte yeryüzünün de merkezî bir ateş etrafında döndüğünü ileri sürdüler.

Pisagor Müzik Alanında ÇalışmasıMüzik alanında :Müzik teorisi yönünden de yenilikler yaratan Pisagor, uyumların değerini, sadece onları meydana getiren tel uzunluklarının orantıları bakımından dikkate aldı. «Pisagor gamı» adıyla tanınan skala aynı isimdeki sistemde , bir oktav aralığına bir tabiî beşliler dizisini (fa, do, sol, re, la, mi, si) meydana getiren sesler yerleştirerek kurulur. Fizik ve müzik eserlerinde, ancak do majör tonunda gösterilen Pisagor gamı pratikte kullanılmaya elverişsiz görünse de aslında modüle edilerek ve gerek yükselen diyezler dizisinden, gerek alçalan bemoller dizisinden yararlanılarak bütün tonlara aktarılabilir. Telli saz icracıları Pisagor ilkesine uyarak çalarlar çünkü tellerini beşliden aralıklarla akort ederler. Bundan ötürü de Pisagor gamına «kemancılar gamı» denmiş ve bu gam «piyanocular gamı» (eşit ayarlı sistem), «solfej gamı» ndan (Mercator Holder sistemi) ve «Fizikçiler gamı» ndan (AristoksenesZarlinoDelezenne sistemi) ayırt edilmiştir.

Bu matematik araştırmalarından başka, matematikçi Pisagorculuk, «herşey sayıdır» ilkesine dayanan bir tabiat felsefesi ortaya koydu. Bu ilke, geniş çapta bir benzetmenin sonucudur. Nasıl ki takımyıldızlar belirli bir figüre (mesela Büyükayı) benzetilen sayılarsa, bütün varlıklar da sayıyla ifade edilebilecek birer şekildir; bu görüş sadece fiziki bir eşya için geçerli değil, belirli bir yapısı olan herşey için geçerlidir. (mesela adaletin de, evliliğin de kendi sayıları vardı.) Pisagorcular, bir sazdaki uyumun tel uzunlukları arasındaki belli bir orana bağlı olması gibi, ruhun da bedenin de bir uyumu olduğunu ve böylece ruh göçünün, tenleşme biçimlerinin ruhların niteliğine göre ayarlandığını düşünüyorlardı. Pisagorculuk, sistemli matematikçiliği ile batı akılcılığının şekillenmesine katkıda bulundu. Fakat sayılar konusunda benimsediği mistik görüş, Pisagorculuğu büyüye ve batınî felsefelere bağlıyordu.

Pisagorun kurduğu ve Pisagorculuğun benimsendiği bu okul aynı zamanda dini bir topluluk ve o zamanın politikasına oldukça egemendir.

Pisagorun matematik, fizik, felsefe, astronomi ve müzikte getirmek istediği yenilikleri, buluşları hazmedemeyen bir takım siyasetçi ve gruplar, halkı Pisagor'a karşı ayaklandırarak, okulunu ateşe vermişler, Pisagor ve öğrencilerinin bu alevler arasında öldüğü söylenmektedir.

Pisagor teoremi

Pisagorculuk; evrende herşeyin bir sayıya bağlı olduğunu öne sürer. 5 rengin, 6 soğuğun, 7 sağlığın, 8 aşkın nedenidir. Pisagor'un öğretisinde düzgün geometrik şekiller de önem taşır. Örneğin Pisagor yeryüzünün düzgün altıyüzlüden, ateşin piramitten, havanın düzgün sekizyüzlüden, suyun yirmiyüzlüden yaratıldığına inanır.

Pisargorcuların sayılara ve şekillere verdikleri gizemci anlamlar bu kişilerin sayıları ve geometrik şekilleri yakından incelemesine de neden oldu. Bunlar arasında en önemlileri Pisagor Teoremi ile İrrasyonel Sayının bulunmasıdır.

Pisagor, müzikle de uğraştı. Telin kısaltılmasıyla çıkardığı sesin inceldiğini keşfetti. İki telden birinin uzunluğu diğerinin iki katı ise, kısa telin çıkardığı ses, uzun telin çıkardığı sesin bir oktav üstündeydi. Eğer tellerin uzunluklarının oranı 3'ün 2'ye oranı gibiyse, iki telin çıkardığı sesler beşli araklı idi. Bu nedenle; örneğin bağlamada parmağımızı tellerden birinin ortasına bastığımız zaman, teli titretirsek çıkacak olan ses, tel boş titreşirken çıkacak sesin bir oktav üstünde olacaktır. Benzer şekilde eğer parmağımız teli uzunluk 2/3 oranında bölen noktadaysa, telin boş durumuna oranla bir beşli aralık yukarda ses çıkacaktır. Sayılarla müzik arasında bu ilişkiyi keşfeden Pisagor, epey keyiflenmiş olsa gerekir.
v Pisagor'a mal edilen ve şu ifadeyi kapsayan teorem: Bir dik üçgende hipotenüsün karesi, dik kenarların kareleri toplamına eşittir.

Pisagor Teoreminin Kanıtı

(Şimdi de Pisagor teoremini kanıtlayan Pisagor hakkında bir öykü.)
Pisagor bir gün bir demirci dükkanının önünden geçiyordu. Örse vuran çekiçlerin çıkardıkları ahenkli sesler ilgisini çekti ve durup dinlemeye başladı.

5 demirci çalışıyordu ve her birinde farklı büyüklüklerde çekiç vardı. Pisagor çekiçlerden düzenli olarak çıkan seslerin bir müzik parçasına benzediğini duyup hayret etti. Dinledikçe fark etti ki, her çekicin ağırlının farklı olması, örse vurduklarında değişik notalardan ses vermesini sağlıyordu. Çekiç ne kadar ağırsa nota o kadar düşüktü. Sonra bir çekicin seslerin ahengini bozduğunu kabul etti.

Demircilerden çekiçleriyle bir deneme yapmak için izin istedi. (Demirciler kabul etti.) Her çekici dikkatle tarttı. Ahengi bozan çekicin basit bir sayı düzenine uymayan ağırlığa sahip olduğunu buldu. (Diğer çekiçlerin ağırlıkları, bir sayı dizisi oluşturacak şekildeydi.)

İncelemelerine devam ettikçe, farklı büyüklüklerdeki çekiçlerle bir müzik skalasını nasıl oluşturabileceğini öğrendi.
Bu, bir matematikçi tarafından müzikte yapılan en büyük ve en eski keşiflerden biriydi.

Sayılarla uygulanışı

Pisagor harfi; Pisagorcuların her an kusur ve erdem gibi iki yola ayrılan insan yaşamının amblemi olarak kabul ettikleri upsilon (¡).

Pisagor sayıları; Pisagor teoreminin ifade edildiği a²=b²+c² bağıntısını gerçekleyen (a,b,c) doğal tam sayılar üçlüsü. [En basit üçlü (3,4,5) m ve n iki tam sayı olmak üzere a=m²+n², b=m²n², c=2mn almakla olanaklı bütün üçlüler elde edilir.]

Babylonialılar'ın daha önce bildikleri a²+b²=c² eşitliğini sağlayarak Pisagorcu üçlüler (a,b,c) oluşturma olanağı veren formül Pisagor'a mal edildi. Pisagorcular ayrıca a-b=b-c gibi aritmetik, a:b=b:c gibi geometrik ve (a-b):a=(b-c):c gibi armonik ortalamaları inceleyip, tam sayılarla sınırlı bir oranlar kuramını da geliştirdiler.

Pisagor cetveli veya tablosu;

İlk on sayının birbirleri ile çarpım sonuçlarını veren ve Pisagor'a mal edilen çarpım cetveli. Cetvel; çift girişli bir çizelge şeklindedir. Aritmetik dizi halindeki ilk on sayı, bir yatay satır ve bir düşey sütun meydana getirecek şekilde iki kere yazılmıştır.

X
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
3
0
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
4
0
4
8
12
16
20
24
28
32
36
40
5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
6
0
6
12
18
24
30
36
42
48
54
60
7
0
7
14
21
28
35
42
49
56
63
70
8
0
8
16
24
32
40
48
56
64
72
80
9
0
9
18
27
36
45
54
63
72
81
90
10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100


Pisagorculuk ekolu

Pisagorculara göre evrenin bir başlangıcı vardır. Evren, ateşten bir merkezin, bir ocağın çevresinde oluşmuştur. Böylece, Pisagorcuların gözünde dünya, evrenin merkezi olmak gibi bir ayrıcalığa sahip değildir. Gezegenler düzenli bir şekilde hareket ederler. Onların merkezdeki ateşten uzaklıkları müzik skalasının basamaklarına tekabül eder: "Kürelerin armonisi" buradan kaynaklanır. Sayı, çiftle tekin, sınırsızla sınırlının karşıtlığını gerektirdiğinden aynı karşıtlıklar nesnelerde de bulunur.

Armoninin rolü, bu karşıtlıklar arasında uyum kurmaktır. İnsanın kendisi, ruh, erdemler (örneğin; adalet) ve kurumlar (örneğin; evlilik)hep sayının varoluş tarzlarıdır. Böylece Pisagorculuk, bir yandan doğanın matematikselleştirilmesini hazırlar ve batı akılcılığının oluşmasına katkıda bulunurken, öte yandan sayı gizemciliğiyle büyü ve gizlibilim öğretilerine bağlanır. Pisagorcular görülen matematikçilik ve akılcı bilginlikle, kurallara ve ritlere büyük bir saygı gösteren akusmatikosluk arasındaki karşıtlık, Pisagorculuğun bu iki karşıt yanından kaynaklanır.

Pisagor teoreminin cebirsel sonuçları

Pisagor teoreminin cebirsel sonuçlarıGeometride: Bir ABC üçgeninin A açısı dikse bu durumda │BC│²=│AB│²+│AC│² olduğunu ifade eden teorem. (Bir Eukleides düzleminde bunun karşıtı doğrudur.)

Bir Eukleides (aynı biçimde Hermite) uzayında x ile y dikgen iki vektörse ││x+y││²=││x││²+││y││² dir. (Karşıtı Eukleides uzayında doğru, Hermite uzayında doğru değildir.





Pisagor Bağlantısı 1


Pisagor Bağlantısı 2



EUKLEİDESEUKLEİDES

Eski YunanRoma kültürünün en önemli matematikçisi

İlk çağın en önemli matematikçilerinden olan Eukleides, matematikle ilgili "Elemanlar" adlı bilimsel incelemesiyle tanınır. Kalıcı olan "Elemanlar" çalışması, Eukleides'i matematiğin gelmiş geçmiş en önemli öğreticisi yapmıştır. Hayatı hakkında Mısır'da öğrencilik yaptığı dönemler hariç, çok az bilgi vardır. M.Ö 325265 yılları arasında yaşadığı sanılıyor.

Eukleides "Elemanlar" adlı çalışmasında Eudoxus'un pek çok teoremini bir araya getirip onlara bilimsel bir çalışma düzeni vermiştir. Ayrıca Theaetetus' un da pek çok teoremini eksiksiz bir şekilde hazırlamış, kendinden önce başıboş ve düzensiz bir şekilde yapılan çalışmaları düzenleyip onları bilimsel formda sunmuştur. Birinci Ptolemy döneminde yaşamıştır ; Archimedes'e göre Eukleides bir Platonistti ve Platon'a ve felsefesine sempatiyle bakıyordu, bu yüzden de "Elemanlar" adlı eserindeki şekillere Platonik şekiller adını verdi.

Hayatı :Eukleides hakkında çeşitli kaynaklar tarafından verilen fakat güvenilir olmayan bilgiler vardır; ayrıca iki de ekstra bilgi vardır. Bunların ilki Arap kaynaklarındandır; buna göre Eukleides Naucrates'in oğluydu ve Tyre kentinde doğmuştu. Fakat matematik tarihçileri bunların tümüyle uydurma ve gerçek dışı olduğuna inanmaktadırlar.

Bu bilgilerin ikincisine göre ise Eukleides Megara kentinde doğmuştur. Bu da ilk kaynakta verilen hatalı bilgiden kaynaklanmaktadır. Aslında Megaralı Eukleides adında birisi vardır fakat o bir filozoftur ve matematikçi Eukleides'ten 100 yıl önce yaşamıştır. Eukleides o dönemlerde yaygın olarak kullanılan bir isimdir, o yüzden de bu tür karışıklıklar olmaktadır.

Archimedes'in Proclus adlı çalışmasında tam ve kesin olarak emin olmasak da Eukleides'in adı geçmektedir. Küreler ve silindirlerle ilgili bölümde Eukleides'in adı geçmekte ve referans olarak verilmektedir. Sonuç olarak Archimedes Eukleides'e eserlerinde atıfta bulunmuş hatta zaman zaman tartışmaya girmiştir.

Kesin ve güvenilir olmasa da Eukleides'in çalışmalarını Archimedes'ten önce, Plato ve Eudoxus' tan sonra yaptığı konusunda genel bir düşünce vardır.

Eukleides ve hayatı hakkında üç önemli ve mümkün teori vardır. Bu teoriler zekice toplanmış, mümkün ve mantıklıdır:

1.Eukleides tarihi bir karakter değildir. Yazdığı "Elemanlar" kitabı ve diğer çalışmaları onu bir sembol yapmıştır.

2.Eukleides, Alexandria'da çalışan matematikçiler takımının lideridir. Bunların hepsi Eukleides'in eserlerine bir katkıda bulunmuşlardır. Hatta Eukleides öldükten sonra onun adı altında kitap yazmaya devam etmişlerdir.

3.Eukleides bir tarihi karakter değildir. Eukleides'in tamamlanmış çalışmaları Alexandria'daki matematikçiler takımı tarafından yazılmıştır. Eukleides ismini ondan 100 yıl önce yaşamış tarihi bir karakter olan Megaralı Eukleides'ten almıştır.

1. teori hakkında kuvvetli deliller vardır. Bu teori herkes tarafından hiç soru sorulmadan 2000 yıldır kabul edilmektedir ve bunun çelişkili olduğu hakkında bir kanıt da yoktur.

1'i kabul etsek bile Eukleides'in Alexandria'da güçlü bir matematik okulu kurduğundan az da olsa şüphe duyarız. Evet onun bazı yetenekli öğrencileri vardır ve bunlar eserlerinde Eukleides'e yardım etmiş olabilirler. Oysa (2. teoriye karşın) farklı kitapları farklı matematikçiler yazmıştır. Bunun biçimden farklı, kayda değer başka ve doğrudan kanıtları da vardır.

3. teori bu teoriler arasında gerçek dışı gibi gözükse de o kadar gerçekten uzak değildir. Hatta 20. yüzyılda buna Bourbaki örneği vardır. Pek çok yazar Bourbaki adı altında "Eléments de mathématique" adlı 30 ciltlik kitabı yazmıştır.

3. teorinin eksikliğini gösteren en önemli yargı Bourbaki ve arkadaşlarıdır. Kitap Bourbaki adı altında yayınlanmıştır; fakat kitaba emeği geçen diğer matematikçilerin hepsi günümüzde meşhurdur. Eukleides'in kitabını yazanlar eğer varlarsa günümüzde onları bilmemiz gerekirdi. Nerede bu kişiler?
1. teorinin doğruluğunu varsayabiliriz 1 doğrudur fakat Eukleides hakkında hiçbir bilgi içermemektedir. Onun çalışmalarını dönemin tarihî olaylarını yorumladıktan sonra değerlendirmeliyiz. Eukleides Atina'da Platon'un akademisinde Eudoxus ve Theaetetus geometrisi öğrenmiştir.

Eukleides'in hiçbir çalışmasının bir önsözü yoktur, hiçbiri günümüzde bize kalmamıştır. Yani onun karakteri hakkında fazla bir şey göremiyoruz; diğer Yunan matematikçilerin önsözünde gördüğümüz gibi. Onun hakkında Pappus şöyle der :

"Eukleides en dürüst ve ilişkide bulunduğu kişilere karşı son derece iyi niyetli, dikkatli ve yumuşak davranan; bilge ve alçak gönüllü birisiydi."

Eukleides'in en önemli yapıtı: "Elemanlar"

"Elemanlar" tanımlarla başlar ve beş aksiyomdan oluşur;
1)İki noktadan yalnız ve bir doğru geçer.
2)Bir doğru parçası iki yöne de sınırsız bir şekilde uzatılabilir.
3)Merkezi ve üzerinde bir noktası verilen bir çember çizilebilir.3
4)Bütün dik açılar eşittir.
5)Bir doğruya dışında alınan bir noktadan bir ve yalnız bir paralel çizilir.

İlk üç aksiyom başlangıç aksiyomudur; örneğin ilk aksiyom iki nokta arasında düz bir doğru çizilebileceğini ifade eder. Bu aksiyomlarda noktaların, doğruların, çemberlerin ve diğer geometrik şekillerin var olduğu varsayılmıştır. Kitapta üzeri kapalı daha başka varsayımlar da mevcuttur. Örneğin iki noktayı birleştiren tek bir doğru olduğu farzedilmiştir. Benzer olarak sırasıyla ikinci ve üçüncü aksiyomlar, doğru çizgi ve çember çizimi üzerinedir.

Dört ve beşinci aksiyomlar farklı bir yapıya sahiptir. Burada bütün doğru açıların eşitliği söylenmiştir. Bu apaçıktır fakat bu homojen uzayı öngörür ve şekillerin uzaydaki duruş pozisyonlarından bağımsız olduğunu belirtir. Meşhur olan beşinci aksiyomda ise bir doğruya bir noktadan sadece bir paralel doğru çizilebileceğini belirtir. Eukleides'in bu aksiyomu Eukleides Geometrisi terimini çıkarttı; ta ki 19. yüzyıla kadar. 19. yüzyılda bu aksiyom terkedildi.

Eukleides'in ortak ülküler adı verilen aksiyomları da vardır. Aslında spesifik geometri özellikleri yoktur, bunun yerine çeşitli varsayımlar matematiğin tümden gelen bir bilim olmasını sağlamıştır. Örneğin; aynı şeye eşit olan şeyler birbirlerine eşittir.

Sidonlu Zeno Eukleides'ten 250 yıl önce yaşamış ve Eukleides'e ilk defa önermelerin yalnız aksiyomlar olmadan sonuca gitmede yeterli olmayacağını göstermiştir. Bunun üzerine Eukleides zekice ve kurnazca çeşitli varsayımlarda bulunmuştur.

"Elemanlar" kitabı 13 kitaba ayrılmıştır. Bunlar sırasıyla;
I)Benzerlikler, paraleller, Pisagor teoremi
II)Özdeşlikler, alan hesabı, altın kesim
III)Daireler
IV)Dairelerin içine ve dışına çizilen çokgenler
V)Oran ve Orantı Kavramı
VI)Çokgenlerin Benzerlikleri
VII ve VIII ve IX)Aritmetik, eski sayılar teorisi
X)Ortak ölçüsü olmayan büyüklükler
XI ve XII ve XIII)Uzay Geometrisi.

Birden altıya kadar olan kitaplar düzlemsel geometri konusunu kapsar.İlk iki kitabın belirli bölümlerinde temel üçgen özellikleri, paralel ve paralel kenarlar,dikdörtgenler ve karelerden bahsedilmiştir.

Üçüncü kitapta çemberin özelliklerine değinilmiştir, dördüncü kitapta ise bunlarla ilgili problemlere yer verilmiştir.
ÏBeşinci kitapta Eudoxus'un oran ve orantı hakkındaki çalışmalarını planlamış ve bunları eşit ve eşit olmayan büyüklüklerde uygulamıştır. Heath şöyle der: "Yunan matematiği; geometride ses getiren ve orantıyı kullanan bu buluştan gurur duyabilir."

Altıncı kitap ise beşinci kitaptaki düzlemsel geometriyle ilgili çıkarılan sonuçları anlatır.

Yedinci kitap ise sayı teorisiyle ilgilidir. Kitabın belli bazı bölümlerinde sayı teorisine giriş ve Eukleides alogaritmasını ve iki sayının en büyük ortak bölenini bulmasını anlatır.

Sekizinci kitap geometrik düzende sayılardan bahseder.

Onuncu kitapta irrasyonel sayılar teorisi vardır. Eukleides genellikle Theaetetus' un ispatlarından yararlanmış ve onları değiştirerek Eudoxus' un orantı tanımına uydurmuştur.

On bir ve on üçüncü kitaplar ise üç boyutlu geometriyle ilgilidir.On birinci kitapta gerekli üç kitapta kullanılan gerekli temel tanımlar verilmiştir.

On ikinci kitapta genel sonuçlar verilmiştir. Bu sonuçlar şöyledir çemberler, kareler, küreler kendi aralarında benzerdir ve bire birdir. Bu sonuçlar tabi ki Eudoxus'un sayesinde bulunmuştur. Eukleides burada bazı teoremlerin ispatını da Eudoxus'un "exhaustion metoduna" göre yapmıştır.

"Elemanlar" eseri beş çeşit polihedranın genel özelliklerinin tanıtıldığı on üçüncü kitapla son bulur. Bu kitap Theaetetus'un geniş bilimsel çalışmaları sonucu ortaya çıkarılmıştır. Eukleides'in "Elemanlar" eseri açıklık ve teoremlerin başlangıcı ve ispatı açısından olağanüstüdür.

Bu muhteşem kitap bütün küçük kusurlarına rağmen halen en büyük matematik kitabı olarak günümüze kadar kalmıştır. Eski yunan döneminde bile yetenekli matematikçiler bununla beraber oturmuşlardır. Örnek olarak Heron, Pappus, Porphyry, Proclus ve Simplicius. Alexandria'lı Theon bu eseri daha sonra yeniden düzenlemiştir. Dilini yenilemiş, kitabı daha anlaşılır ve açık hale getirmiştir. Eukleides'in "Elemanlar" adlı eserinin Eukleides zamanından beri hayatta kalması gerçekten muhteşem bir hikayedir. Bizim Eukleides'in eserlerine ulaşmamız altı parça halinde ve resim ve şekilleri olan yazıların 1906/07 ve 1907/1908 yılları arasında Elephantine adasında bulunmasıyla olmuştur. Bu yazılar Platon'un ölümünden 100 yıl öncesi kadar eskidir.

"Elemanlar"ın ikinci parçası ise M.Ö 75125 yılları arasında yeniden bazı kişilerin "Elemanlar"ın maddelerini anlamaya çalışmasından yeniden ortaya çıkmıştır.

Binden fazla baskı yapan "Elemanlar", ilk baskısı olan 1482 yılından beri devam etmektedir. Bu eserlerin baskılarının bazı yazınsal değişikliklere uğradığı tartışılır. Neredeyse yazıldığı devirden şimdiki zamana kadar kalan "Elemanlar" insanlar tarafından kullanılagelmiştir. Geometrik sebeplerin, teoremlerin, ve metodların 19. yüzyıla kadar kullanılan birincil kaynağı olmuştur. Bazen "Elemanlar"ın batı dünyasında en çok çevrisi yapılan ve basılan kitap olduğu söylenir. Eukleides'in bunun dışında günümüze kalan kitapları da vardır, bunların da çevrileri yapılmaktadır.

Eukleides'in öteki yapıtlarını şöyle sıralayabiliriz;
* Data adlı kitabında şekillerin özelliklerine bakılmış ve tümdengelim yöntemiyle diğer özellikleri bulunmuştur. Bölme kısmında ise bir şekli ikiye istenilen oranda ikiye bölme anlatılmıştır.

* Bir şekilde, belirli elemanların bilinmesi durumunda, başka elemanların da bilinebileceğini, yani belirlenebileceğini ortaya koyan ve 94 önermeden oluşan Dedomena ile Arapça ve Latince çevirileri sonradan bulunup yeniden düzenlendikten sonra 1915'te yayımlanan ve verilen bir şeklin bir ya da birden fazla doğruyla birbirine eşit ya da aralarında belirli bir oran olacak şekilde alanlara bölünmesine ilişkin problemleri içeren Peri diaireseon biblion (Şekillerin Bölünmesi Üzerine Kitap), Eukleides'in geometriye ilişkin günümüze kalan öbür iki çalışmasıdır.

* Eukleides'in Optika (Optik) adlı eseri eski Yunan'da ilk defa perspektif alanında yapılan çalışmadır. Optik kitabının özgün metninin yanısıra Yunanlı bilgin Theon'un eleştirel düzenlemesi de gene Yunanca olarak günümüze gelmiştir.

* Katoptrika (Yansımalar) Eukleides'in değildir; konuyla ilgili eski çalışmalardan yapılan bir derlemedir

* Phaenomena matematiksel astronomide yararlanılmak üzere küre geometrisine ilişkin yazılmış bir kitaptır ve Pitaneli Autolykos'un aynı konudaki bir çalışmasının benzeridir. Bu kitapta yıldızların çeşitli zamanlardaki pozisyonlarından bahsedilmektedir. Ayrıca yıldızların doğuş ve batış zamanları da belirtilmiştir. Günümüze Yunanca olarak ulaşmıştır.

* Proklos ve öğrencisi ve öğrencisi Marinos tarafından Eukleides'e mal edilen müzik kitabı iki yapıttan oluşmaktadır. Bunlardan Katotome kanonos (Gamın Bölünümü) bazı eklemelerle Pisagorcu müzik kuramını içerir. Gamdaki notaların belirli perdelerle ayrılmasını konu alan Eisagoge armonike (Armoniye Giriş) ise Aristoksenos'un öğrencisi Kleonides tarafından yazılmıştır .

Geometri konusunda günümüze ulaşamamış dört yapıt Yunan kaynaklarınca açıklanmakta ve Eukleides'e mal edilmektedir;

* Pseudaria'nın (Yanlışlıklar) amacının, konuya yeni başlayanlara, geometrik düşüncede kolayca düşünülebilecek yanlışları göstermek ve öğrencileri bunlara karşı uyarmak olduğu belirtilmektedir.

* Üç kitaptan oluşan Porismata (Sonuçlar) Pappos'un bir özetini verdiği yüksek düzeyde bir çalışmaydı. Anlaşıldığına göre, Eukleides "sonuçlar" deyimi ile ilk önem bakımından problem ile teorem arasında bulunan bir önerme türünü kastediyordu.

* Eukleides'in konikler üzerine dört kitaptan oluşan yapıtı, Apollonios'un "Konikler"inin ilk dört kitabına uyar; ama Apollonios kendi yapıtına bazı yeni teoremler eklemiştir. Eukleides; konikleri eski adlandırılış biçimiyle, dik açılı, dar açılı ve geniş açılı koni kesitleri olarak anıyordu. Bunları parabol, hiperbol ve elips olarak adlandıran ve tanımlarını veren Apollonios olmuştur.

* Pappos ayrıca Eukleides'in Topoi pros epiphaneia (Yüzeylerin Geometrik Yerleri) adlı yapıtından söz etmektedir. İki kitaptan oluşan bu yapıt, büyük olasılıkla, yüzeyler üzerindeki geometrik yerleri, kendileri bir yüzey oluşturan geometrik yerleri ve konikleri içeriyorlardı.

* Gregory'nin yayımlamış olduğu "Eukleides'in bütün yapıtları" baskısında yer alan De levi et ponderoso (Hafiflik ve Ağırlık Üzerine) başlıklı ve Aristoteles dinamiğinin ilkelerini içeren

* Eukleides'in şu kitapları tamamen kayıptır.: Yüzey locisi(2 kitap), Porisms (3 kitap, 171 teorem ve 38 lemma), konikler (4 kitap), müziğin elemanları.

"Herşeyin bilimsel gibi gözükmesi ve gerçekle onu izleyen bilimsel prensipler gerçeklikten sapıp körü körüne benimsendikleri zaman ise bilimsellikten uzaklaşıyorlar." Eukleides maddeleri ve metodları kolay anlaşılır hale getirmiştir.

Eukleides birinci sınıf bir matematikçi olmayabilir fakat uzun yaşayan "Elemanlar" eseri onu antik çağın, belki de bütün çağların en iyi matematik öğreticisi yapmıştır.

Eukleides'in kitaplarının günümüz versiyonu:

*Archibald, Raymond Clare (18751957). Eukleides'in şekillerin bölünmesiyle ilgili kitabı. Cambridge University Yayınları, Cambridge, 1915.

*Berggen J.L. Eukleides'in Fenomenası: Eukleides'in Helenistik çağda yaptığı astronomik çalışmaların tercümesi Garland, 1996

*Bretschneider, Karl Anton. Die Geometrie und die Geometer vor Eukleides; ein historischer Versuch. Teubner, Leipzig, 1870.

*Busard, H.L.L. Eukleides'in "Elemanları"nın ilk Latince tercümesi. Pontifical Enstitüsü.

*Chasles, M. (Michel) (17931880) Les trois livres de porismes d' Euclide, rétablis ... d'aprés la notice ... de Pappus. MalletBachelier, Paris, 1860.

*Frankland, William Barrett. Eukleides'in Elemanlarının didaktik biçimde yorumlandığı ilk kitap. Cambridge Univ Yayınları, New York, 1905.

*Heath, Sir Thomas Little (18611940)Eukleides'in 13 kitabının giriş bölümleri ve yorumlarıyla birlikte tercümesi. Üç cilt. University Press, Cambridge, 1908. İkinci Baskısı: University Press, Cambridge, 1925. Yeni basım: Dover Publ., New York, 1956. Yeniden gözden geçirildi: 10 (1928),6062.

*Heiberg, J. L. (Johan Ludwig) (18541928)Eukleides'in omnia operası. 8 cilt. ve ilaveler. 18831916. Hazırlayan J. L. Heiberg ve H. Menge.

*Kayas, G. J. Elemanlar(Fransızca). CNRS, 1978.

*Knorr, Wilbur Richard Eukleides'in Elemanlarının Gelişimi. cilt 15. Reidel, DordrechtBoston, 1975.

*Morrow, Glenn R. Proclus: Eukleides'in Elamanlarının ilk kitabının yorumu. Çeviren G. R. Morrow. Princeton Univ Press, Princeton, 1970.

*Mueller, Ian. Matematik felsefesi ve Philosophy of mathematics ve tümdengelim yapısı . MIT Press, Cambridge, Mass., 1981.

*Schmidt, Robert. Eukleides'in eğilimleri , commonly genelde bilgileri adı verilir. Golden Hind Press, 1988.

*Taisbak, C. M. Renkli dörtgenler. Eukleides'in elemanlarının 10 kitabının rehberi. Opuscula Graecolatina, 24. Museum Tusculanum Press, Copenhagen, 1982.

*ThomasStanford, Charles Eukleides'in "Elemanlar"ının ilk baskıları. Bibliographical Society, London, 1926. Yeniden gözden geçirildi: 10 (1928), 5960.

*Thomson, William. Pappus' Eukleides'in Elamanları'nın yorumu. Cambridge, 1930.

Eukleides'in ele aldığı konular şunlardır:

*geçişme özelliği,
*Pisagor teoremi,
*cebirsel özdeşlikler,
*çemberler,
*tanjantlar,
*düzlem,
*geometri,
*orantı teorisi,
*asal sayılar,
*mükemmel sayılar,
*pozitif sayıların özellikleri,
*irrasyonel sayılar,
*üç boyutlu şekiller,
*sınırlı ve çembersel bölgeler,
*LCD,
*GCM ve
*temel katıların yapımı.

Özellikle dikkate alınması gereken konular tahmin (yaklaşma) metodudur. Bu metod Archimedes tarafından integral hesabının bulunmasında kullanılmıştır ve yine bütün asal sayılar kümesinin sonsuz olduğunun ispatında kullanılmıştır.

Eukleides Yunan Matematiğinin standartlaşmasına yardım etmiştir.

Elemanlar kitabı Latin ve Arap dillerine çevrilmiştir, uzun süreli bir eser olmuştur. Bu periyotta Eukleides dünyanın gelmiş geçmiş en büyük matematikçilerinden biri olarak kabul edildi. Kitapları 1903 yılına kadar okullarda kullanıldı.

Eukleides bölme, fenomena, optik, konikler ve prizmalar hakkında önemli bilgiler içeren kitaplar yazmıştır. Eukleides matematiği standartlaştıran ya da standartlaştırmaya çalışan ilk kişi olmuştur. Çalışmaları da gelecek nesil için bir rehber olmuştur.

Eukleides'in "Elemanlar"ını yoğun ve ciddi bir şekilde inceleyen ve devrinin en tanınan matematikçisi olan Clavius (15321562), hayatını Eukleides'in oran ve orantıyla ilgili bulduğu özellikleri geliştirmeye adamıştır. Clavius bunu sadece rasyonel sayılara uygulayan Eukleides'in özelliğini geliştirmiş ve irrasyonel sayılara da uygulamıştır. Ayrıca Eukleides'in ispatını yapamadığı bu özelliği de ispatlamıştır. Bunlarla beraber oran ve orantı konusunda Eukleides'in çeşitli açıklamalarını baz alan Clavius bunları geliştirmiş ve yeni teoremler ortaya atmıştır. Eukleides'in "Elemanlar" ının ilk baskısını 1574'te yapan Clavius büyük başarı sağlamıştır ve ününü iyice arttırmıştır. Daha sonra da 1589, 1591, 1603, 1607 de Opera of Matematica'yı yayımlamıştır.

Öklit Bağıntıları

sponsorlu bağlantılar